DESIGUALDADES E INTERVALOS

1. INTERVALOS: Son regiones comprendidas entre dos números reales.

En general, si los extremos pertenecen al intervalo, se dice que cerrado,

si por el contrario no pertenecen al intervalo, se dice que es abierto.  Si

uno de extremos pertenece al conjunto y el otro  no, se dice que

semiabierto o semicerrado.

CLASES DE INTERVALOS

COMO CONJUNTO TIPO DE INTERVALO REPRESENTACION

GEOMETRICA

{x / a ≤ x ≤ b} [a,b] CERRADO [                          ]

a                         b

]

{x / a ≤ x ≤ b}

[a,b) SEMICERRADO ALA

IZQUIERDA

[                          )

a                         b

{x / a〈x ≤ b} (a,b] SEMICERRADO A LA

DERECHA

(                          ]

a                         b

{x / a ≤ x ≤ b} (a,b) ABIERTO (                          )

a                         b

{x / x〉a} (a,α) (                        

                         

{x / x ≥ a} [a,α ) [                        

                         

{x / x〈b} (−α,b)                           )

                            b{x / x ≤ b} (α,b]                           ]

                            b

{x / x ∈ℜ} (−α,α)

Ejemplos

Dibujar los siguientes intervalos

1.  [2,5)                     [              )

                                                 5

2. (− 6,3 )           (                      )

                                                 6

3. {x ≤ 4}                               ]

                                             4

4.{x 〉 − 3}       (                  

                                           

  0

R

   0

2

   0

-3

   0

0

-35.[− 6,1 ]             [                      ]

DESIGUALDADES

1. INTRODUCCION

ORDEN DE LA RECTA NUMERICA

Decir que a〈b, significa que a está a la izquierda  de b, en la recta numérica

_______________a_____________________b________________R Si   a〈b ⇔ b − a〉0,es decir, que el conjunto de los números reales es un

conjunto ordenado.

PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES

Si a, b y c  son números reales

1. TRICOTOMIA

Si a y b son número reales, se cumple una y solo una de las siguientes

propiedades:

a〈b o a = b o a〉b

2. TRANSITIVA

Si a〉b, y b〉c ⇒ a〉c

Ejemplo

12〉8 , y , 8〉5 ⇒ 12〉5

3. ADITIVA

Si a〉b ⇒ a + c 〉 b + c

Ejemplo

Si 9 〉 2, entonces, 9 + 5 〉 2 + 5 ⇒ 14 〉 7

4. MULTIPLICATIVA a) Si c 〉 o, se cumple que

Si a 〉 b ⇒ a.c 〉 b.c

Ejemplo: Sea   8 〉 − 2 y c = 4 ⇒ 8.4 〉 − 2.4

⇒ 32 〉 − 8

b) Si a 〉 b ⇒ a.c 〈 b.c

Ejemplo: Si − 3 〉 − 7 ⇒ (− 3)(− 5) 〈 (− 7)(− 5)

                             

                                      ⇒15 〈 35

5. Si a〉b y c〉d ⇒ a + c 〉 b + d

Ejemplo:  Si 8〉5 y 7〉4 ⇒ 8 + 7 〉 5 +1 ⇒ 15〉9

6. Si a〉0 ⇒ − a〈0

Ejemplo:  si 8〉0 ⇒ − 8〈0

7. ,0 0

2

Si a ≠ a 〉

Ejemplos

8 0 8 64 0

2

Si 〉 ⇒ = 〉

7 0 ( 7) 49 0

2

Si − 〈 ⇒ − = 〉8. 0

1

〉0⇒ 〉

a

Si a

Ejemplo

0

7

1

Si 7 〉 0⇒ 〉

9.

c

b

c

a

Si a〉b y c〉 ,0 entonces, 〉

Ejemplo

2 1

5

5

5

10

Si 10〉5 ⇒ 〉 ⇒ 〉

10.

c

b

c

a

Si a〉b y c〈o ⇒ 〈

Ejemplo:

3 2

8

16

8

24

24 16 〈 ⇒ − 〈 −

−

S

                                                  6